八 《历术甲子篇》与《太初历》的关系 《历术甲子篇》与《太初历》的关系，前文的叙述已基本示明。兹将史载要点重新归纳之，有以下几点： 1、汉书·律历志》指明，《太初历》即是从十八份各家提出的草案中，由汉武帝“诏迁（司马迁）用邓平所造八十一分历”。也顺便提到：“而落下闳（负责）运算转历，与邓平所治同”。 2、上书往下接着说：因为经过宦者淳于陵进行的天象校验，邓平的历稿与之最密合，因而汉武帝“遂用《邓平历》，以平为太史丞”。 3、其时司马迁子承父业，为太史令五年以上。太初后，历者邓平既为太史丞，与司马迁已为同僚。 4、司马迁巨著《史记》篇之一为《历书》，对太初制订历法经过只用了35个字，总结为一句话：“至今上即位，招致方士唐都，分其天部，而巴郡落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。”只字未提已是他同僚的邓平，也不说“八十一分历”。 5、太史公自序》“律居阴而治阳，历居阳而治阴。律历更相治，间不容飘忽。五家之文怫异，维太初之元论。作《历书》第四。”文中“五家”指除《鲁历》外的古六历无误。但“维太初之元论”这六个字，通通译作“以太初颁行的历法较正确”也不错。但太史公文中含有的深意似乎未必尽然。 6、《汉书·孝武帝本纪》记太初元年岁前“十一月朔甲子”，“十二月朔甲午”点明：按原来实行的老历，其十一月虽日干支为甲子日，却不是《太初历》认定为的历元首日。因历元首日必为本月月小，只二十九天。而按老历，则为三十天，月大。 7、《历书·历术甲子篇》数据含一蔀岁计76年940朔望月，共27759天，合于古四分历由长期实践所得的历算基本参数：岁策27759÷76=365.25天；月策27759÷940=29.499/940天；日分=940分.可以肯定，《历术甲子篇》为古四分历历算数表。 8、《汉书·律历志》得到班固充份肯定全文录入的刘歆《三统历》数据，以八十一章（闰）岁为一统岁，一统岁19×81=1539岁，合19035朔望月共计为562120天。由此得八十一分历基本参数：岁策562120÷1539=365.385/1539天；月策562120÷19035=29.43/81天；日分为81分。 9、《历术甲子篇》列76年首日朔至历数，后附76年帝王及年号，起于汉武帝太初元年（西元前104年），止于汉成帝建始四年（西元前29年）。 10、《历术甲子篇》第六十位数据附年号为汉元帝初元四年，历朔数为48.931，即应为汉元帝初元三年十一月朔为辛亥931分交朔。而查历书，其年十一月初一日干支为壬子。因为这年十一月二十九日庚辰，是罗马凯撒《儒略历》首年的元旦日，是中西历对照的起点日，又与用《三统历》推步为壬子日合，不会有记、算上的误会。 1 1、书·律历志》载《太初历》后“二十七年，元凤三年，太史令张寿王上书言，今阴阳不调，宜更历之过也……言《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分……”按《历术甲子篇》去705分，唯其第二十号数：40.705分。查此数以《殷历》（亦古四分历）推，属第二章岁首岁；又依《殷历》，武帝元封七年，（即改历后称为的“太初元年”。）入第二十蔀（参见表二20/0123BC22）的第二十年，蔀余数22－1=21。由40.705＋21.000=61.705=1.705.去小余七百五分，依张寿王言，正好是甲子0分。不去小余，则正好是由（6）点出的，元封七年岁前十一月朔日甲子月大，十二月朔甲午月小。又十一月朔日为第二章岁首日，也只可能小余是705分。因之，张寿王所谓“去小余705分”，就是将元封七年十一月原交朔时间由705分（合下午酉时）移前为夜半子时。好了，有了史料，可以往下说了。从史料（11）说起。张寿王之说“亏四分日之三，去小余七百五分”，实则是邓平在始作俑者公孙卿的授意下，将落下闳用于“运算转历”的祖传“宝典”《历术甲子篇》数据，往下平移一章岁，又将元封七年岁前的十一月初一日由原老《殷历》不算作历元的，再改为历元之年，就人不知鬼不觉弥合得“天衣无缝”了。他两人因“夺”历者落下闳之劳而为自已之功，若不换一个说法，岂不是很容易真相露白？如是，则八十一分历应运而生。我用“八十一分历”积日法也推出了一份历表，与《历术甲子篇》两相对照，由于其精度基本一致，实在相差不大。用两表由太初元年往后排历，直到第六十年，也就是（8）所表，才出现一日之异。由此可以肯定，《太初历》不是《历术甲子篇》“历”，而是以后者为师本的新历法。 司马迁对方士公孙卿的才华作了不用直述的肯定，对他的不光彩的经历则进行了充分的揭露。但对其在改历过程中的权术活动，除了无一字肯定外，不敢稍有揭示，则因为他当时也是只有疑惑，加上自身的特殊经历，更有难言的苦衷。因之，只有用不肯定、留疑问上下功夫，明显是由后人来明辨了。 刘歆著《三统历》，其学说得到了经学家班固的充份肯定，则是因为实践在认识世界活动中的重要地位被轻视的倾向已成潮流。可以这么看，古四分历以76年27759天作为基本参数，是世守师传历人经过长期实践基础上形成的经验，从中得到的正确认识。对上项数据的得到，是人的实践活动可以做到的有源之水，有木之果。而《三统历》以1539年计562120天为算历的基数，则只是来源于间接知识进行的再次推导。首先，刘歆的前人没有能力积累长达1539年的天象观测数据。在学问中，人们接触的虽然说主要是间接知识，但必须首先审查来源于一手知识的可靠程度。其实，由古四分法基数27759天，是很容易推出1539年为562120天的：27759÷4×1539 = 562119.75天≈562120天。但刘歆不但不承认，反而引入另一套“大道理”。他的中心议题是用“大衍数”解释“八十一分历”的月法：
是故元始有象一也，春秋二也，三统三也，四时四也，合而为十，成五体。以五乘十，大衍之数也，首据其一，其余四十九，所当用也。（[1+2+3+4]×5－1 = 49）故蓍以为数。（49是易用蓍草进行占卜的主数）以象两两之，又以象三三之，又以象四四之，又归闰象十九，及所据一加之，因以再仂两之，是为月法之实。（[49×2×3×4＋19＋1]×2 = 2392。）
刘歆月法有这么个“来源”，是说按日81分制一个月为2392分；则19年总分为2392×235=562120日分，称周天数。因而一统岁1539年的日数也出来了：562120×81÷81 = 562120天。如果此数经得起实践的考验，也真了不起。因为1539年真实接近的天数只有562108日，差12天之多，无怪我认为刘歆只是在这儿故弄玄虚！ 由上赘述，只说明一条道理：《太初历》只是《殷历》所本《历术甲子篇》移近了天象的，稍加变化的继承。刘歆用易数玄虚立《三统历》，未经受住实践的考验。再加两句题外的话：《宋书·律历志》引祖冲之曰：“古之六历，并同四分。四分之法，久则后天。以(日)食验之，经三百年，辄差一日。”如果刘歆以他的学识，用务实而不是务玄的态度，看了张寿王的故事，那怕是误打误中，将《殷历》执行三百多年的积差小余705分一笔抹去，其所成历法精度的成果，则更为伟举了。
九 《历术甲子篇》与岁用干支的关系 《历术甲子篇》的年名人们总是往“岁星纪年”上牵连，这是真正的抱残守缺。 第一，表列共76年，从第61号往下的16个年名，又从第1号重复顺序下移，已足够证实本书只共用了60个不同的年名。兹将书中六十 同的年名表录如下：
焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章 困 顿 赤奋若 攝提格 单 阏 执徐 大荒落 敦牂 协 恰 涒 滩 作 噩
焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章淹 茂 大渊献 困 顿 赤奋若 攝提 单 阏 执徐 大荒落 敦 牂 协 恰
焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章涒 滩 作 噩 淹 茂 大渊献 困顿 赤奋若 攝提 单 阏 执 徐 大荒落
焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章 敦 牂 协 恰 涒 滩 作 噩 淹茂 大渊献 困顿 赤奋若 攝提格 单 阏
焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章 执 徐 大荒落 敦 牂 协 恰 涒滩 作 噩 淹茂 大渊献 困 顿 赤奋若
焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章 攝提格 单 阏 执 徐 大荒落 敦牂 协 恰 涒滩 作 噩 淹 茂 大渊献
第二，表上60个不同的年名，再进一步分析，又可方便地发现，是由上10加下12个不同的词码顺序相缀合而成的。上位的十个词码对应于十天干，顺序为：
1焉逢、甲，2端蒙、乙，3游兆、丙，4强梧、丁， 5徒维、戊， 6祝黎、己，7商横、庚，8昭阳、辛，9横艾、壬，10尚章、癸。
下位的十二个词码则是：
1困顿、子， 2赤奋若、丑， 3攝提格、寅， 4单 阏、卯， 5执徐、辰， 6大荒落、巳， 7敦 牂、午， 8协 恰、未， 9涒滩、申， 10作 噩、酉， 11淹 茂、戌 ， 12大渊献、亥。 第三，由10个上码与12个下码组成60个不同的年名的规则是：上码与下码次第分明，而且，上码中位居奇数的词码，也只与位居于奇数的下码搭配；上码中位居偶数的词码，也只与位居偶数的下码搭配。
由以上三条观察的条例，很容易发现：《历术甲子篇》用词码作为年名，与六十甲子的60干支，10天干12地支，和天干地支的顺序搭配规则是一一对应的。这种关系说明，《历术甲子篇》是用干支的一种代码名年的。这种代码，是作为由岁星纪年进化到正式用干支名年的一种过渡形式，由与《历术甲子篇》同时启用于西元前427年顷开始，已在活动范围不广的特定场合使用长达四百年以上。 1、专用年名是一组行业密码。无论这套词码曾经是如何来的，与天象甚至与外国古巴比仑文明扯得上关系，也不改其在历人间用以作为年名，只是作为行业密码传递信息的功用。因为在中国，每个比较古老的行业，为了保护师门和行业的特殊性利益，都有“行话”和“密码”，俗话叫“江湖切口”语，其范围不限止于某一行业，几乎行行如此。历人这个“行业”是春秋末战国初形成的。其时正是岁星纪年由于跳辰，因而逐渐失去纪年资格，又因为古四分历理论已经成熟，己由观象授时开始让位于计算推历的时代。由于历法推步工作的需要，产生了用干支预示年名的迫切要求。但这时若贸然用六十甲子名年，冒的风险太大，用一套密码既不当风险，又可让外人感觉神密玄妙，一举多益，何乐不为。还有，这套词码由于先只用于口头，后来记录成文字就有音同字异的现象。例子如“作噩”又写成“作鄂”，“淹茂”也写为“阉茂”等，同一书上就出现不同的写法。 2、同所有的密语一样，这一套代表顺序的词码虽然其顺序是固定的，与干支的对应也是有序的，但谁与谁对应在开始却是约定而未“俗成”。在不同的场所，可以有不同的关联。现成例子是： （1）、《尔雅·释天》岁阳：“太岁在甲曰瘀逢，在乙曰旃蒙，在丙曰柔光，在丁曰强圉，在戊曰著雍，在己曰屠维，在庚曰上章，在辛曰重光，在壬曰玄黓，在癸曰昭阳。” 岁阴：“太岁在寅曰摄提格，在卯曰单瘀，在辰曰执徐，在巳曰大落荒，在午曰敦牂，在未曰协恰，在申曰涒滩，在酉曰作噩，在戌曰阉茂，在亥曰大渊献，在子曰困顿，在丑曰赤奋若。” （2）、司马迁《史记·历术甲子篇》名年十天干顺序和用字与《尔雅·释天》就不同：甲作“焉逢”，乙作“端蒙”，丙作“游兆”，丁作“强梧”，戊作“徒维”，己作“祝黎”，庚作“商横”，辛作“昭阳”，壬作“横艾”，癸作“尚章”。 3、或有人问曰：《汉书·律历志》“以前历上元太初四千六百一十七岁，至于元封七年，复得焉逢摄提格之岁”一语中，“元封七年不就是太初元年吗，焉逢摄提格不是代表“甲寅”吗，怎么太初元年成了甲寅年呢？可以这样答复：“汉武帝复得的乃是天纪历元之岁，谁通知你提前破译穷根究源了呢！”在当时确实除了局内人，任谁都有是蒙混其词的。但若注意，司马迁于《历术甲子篇》文后有几句似乎残缺不全的注释，地支只点了两个名：“支，丑名赤若奋，寅名摄提格”。若是怕人不懂，又何以画蛇只画两只脚？如果太史公原稿确是如此，则真是大有深意。恰巧，太初元年岁名丁丑，而《历术甲子篇》的历元正好又是甲寅。《殷历》开始计历于西元前1567年，年名也正好是甲寅年。也因为历元始于前1567年，时值殷季，才有《殷历》的取名。再依实际天象，也就是《殷历》实施开始的西元前427年，也是甲寅年。真正是三针对一线了。总之阅读古书，必须从实际考证，才能去粗取精，弃伪存真，由表及里，来个否定之否定。
十、前人对《历术甲子篇》的考评 《汉书·律历志》：太初改历后“二十七年，元凤三年（时武帝已逝世九年），太史令张寿王上书言：今阴阳不调，宜更历之过也。诏下主历使者鲜于妄人诘问，寿王不服。鲜于亡人请与治历者大司农中丞麻光等二十余人钧校诸历用状。奏可。诏与丞相、御史、大将军、右将军各一人，杂候上林清台，课诸历疏密，凡十一家。以元凤三年十一月朔旦冬至，尽（于元凤）五年十二月，各有第，寿王课疏远。案寿王非汉历，逆天道，非所宜言，大不敬。有诏勿劾。复侯，尽（于元凤）六年，《太初历》第一。即墨徐万且，长安徐禹治《太初历》，亦第一。丞相属宝，长安单安国，安陵杯育治《终始》言：寿王历乃太史官《殷历》也，又妄言《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分，以故阴阳不调，谓之乱世。劾寿王。寿王侯课，比三年下，（多次进出狱门！）终不服。再劾死。更赦勿劾。（十七岁的皇帝刘弗陵有自已的见地。）遂不更言，（还是不改变态度，有立场！）诽谤益甚。（犟驴子一匹）竟以下吏。（下课了事）故历本之验在于天。（实践是检验真理的唯一标准。）自汉历起，尽元凤六年，三十六岁（“六”是衍文，只三十岁）而是非坚定。”这是一篇最早出现的评论文字。张寿王仍以《殷历》推比太初更晚二、三十年的历象，留恋积差已经很大的《殷历》，不顾《太初历》密近天象的事实，只抓住在改历过程中的弄虚作假不放，固宜其败也。 汉成帝（前32—前7年）时楚元王四世孙，经学家刘向“总六历，列是非，作《五纪论》。”刘向的儿子子承父业，精研历术细微，作《三统历》及《谱》。此仍为同时代参与考评的人事。因对其另有专论，故此处从略。晋杜预（222—284），博学多通，撰《春秋长历》等。他的观点是，古六历“非时王之术”。也就是说，“夏历”非夏时已有成文历法，《殷历》也非殷时历书。此论，无疑是很有见地的。 南北朝祖冲之（429—500）《大明历》编著者。他的观点认为，古六历起于周末汉初，同用的是古四分历理，并非夏、商三代以前的历法。《宋书·律历志》：古六历“考其远近，率皆六国同秦汉时人所造。”祖冲之曰：“古之六术，并同四分。四分之法，久则后天。以食验之，辄差一日。古历课今，其甚疏远，朔后天过二日有余。以此推之，古术之作，皆在汉初周末，理不得远。且却校《春秋》，朔并先天，此则非三代以前之明证矣。” 到了清代，据卢仙文、江晓原《清代学者对古代历法的整理研究》的介绍，知清代学者对古代天文历法的研究，占重要一席。 姚文田《邃雅堂学古录》（清道光江阴学署刊本）：“古史称颛顼为历宗，考其纪算，从甲寅始。”他所引数据，实出自《殷历》和《历术甲子篇》。另著《史记历书考》，则指出：“其所载历法与太初不同”。邹汉勋《学艺斋遗书》（清光绪刊本）：他认为“古历并为四分。”又说：“元起甲寅，日起甲子者，为颛顼之别一术，即《殷历》。”关于秦用之历，他说：“秦用颛顼历，盖年起乙卯（前366年）而日起于丁卯，杂作他法成之，非纯用颛顼历也”。（按岁前十一月朔日为乙卯，非“丁卯”。） 王元启《史记三书正伪》（丛书集成本）“四分法实本太初”。认为“《史记》所载即《太初历》”。陈厚耀《春秋长历》，邹伯奇《邹征君遗书》（同治癸酉刊本）两书附和上说。据卢仙文、江晓原两氏归纳介绍，清学者李光地、钱大昕、阮元、李锐等均认为《太初历》用的是“三统术”。其中，成蓉镜《成氏遗书·三统历考》（道光三年仪征阮氏刊本）共列出八条证据说明《太初历》用的是“三统法”而非“四分术”。 因为上面史料均间接引用，其原说法不知其详，故本文未用为佐证。作为语录，可供参考。也可以用为深入考研原说的一份索引。
十一、《历术甲子篇》的数学模式化
古四分历历理，是西元前五世纪顷完成的严密计算系统工程，本人重编其历谱，是据其原理编制历谱的“数学模型”，现归纳汇报于次：
一、严格以朔望月长定推阴历的月份 古四分历朔望月长取29.530851064天。古人为方便计算，其整数部份取60循环计数，以与六十甲子数相一一对应；而其小数部份则化简为940分进位制。0.530851064×940 ＝ 499分，所以上述的朔望月长变成为29.499天，称之为古四分历的“月策”。只需记住：月策的小数部份是用940进位制，而其整数是用60循环制，且与六十甲子数相一一对应。正文的月法部份曾提出：设本月历朔数为Ｒ0，推下一个月的历数Ｒ1 ，可由下式表示： Ｒ1＝Ｒ0 ＋ 29.499 现将Ｒ0设为某一历算起点的交朔历数，而将Ｒ1 的下标1改为距起历点为任一X朔望月数所求月份的交朔日时，则上式成为一通式： ＲX＝Ｒ0 ＋ 29.499X ……………式 ① 则通式①可以算出距起历“原点”任一积月的交朔日时。比如正文表四《历术甲子篇》甲子蔀历数表中，“历元” Ｒ0＝1.000， 其第四年(首月)的历数为13.603，试计算之。因为该月头距现在称之为原点的积月数Ｘ＝37(朔望月)，代入式①，可得： Ｒ37＝1.000 ＋ 29.499×37＝1.000＋1073.18463≡1.000 +53.000 + 19.603＝73.603≡13.603 。得证 。 1、上列算式中，用了整数与小数分别计算的“定义算式”，兹列范式如次：29.499×37 ＝ 29×37＋499×37 ＝1073 ＋18463 ≡ 53 ＋19.603 ＝ 72.603 ＝ 12.603。是将60循环制与940进位制并在一起计算的特殊计算方法! 2、用上面同样的方法，可以将《历术甲子篇》76年的任一年任一朔望月的历数用式①统一表达出来。也就是说，用一个算式，将其76年间940个朔望月的历数全部概括无余。作为例子，如表四最后一年历数为16.093，实则是积月第927朔望月交朔日时。现将X＝ 927代入①式，可得： Ｒ927＝1.000 ＋ 29.499×927＝1.000＋26883.462573≡1.000 +3.000 + 492. 93＝496.093≡16.093 。得证 。 3、既取“月策”为29.499天，在此月策实用期限内，式①通用。比如，我们认定西元前427年十一月的Ｒ0 ＝ 46.000，为算历的坐标原点，它的实施期的最后一个月为西元前104年首月(岁前十一月)相距朔望用月数为 ＝ 940×4 ＋ 235 ＝ 第3995朔望月，使用系数η＝29.499，将之代入式①中，得 ： Ｒ3995＝46.000 ＋ 29.499×3995＝46.000＋115855.1993505≡46.000 +55.000 + 2120.705＝2221.705≡1.705 。得证。 4、若将古四分历，亦即是《历术甲子篇》月策29.499，改换为十进制表述为η＝ 29.53085106代入式①，可以更方便进行计算。所得结果，其小数为十分制日分时间，可以很方便地转换为940分制、现代时分秒制，或其它任一日分制来表述。而得数的整数，则就是从原点到所求朔望月份首日的相距天数或“积日”，且也能很方便地用对模60等余(X·MOD60)的方法求得其记日干支。 5、以上仍是就古四分历而论的。推而广之，我们己知《太初历》使用的是“八十一分历”，月策为29又81分之43天，能否也用上述方法呢？能用的。己知43÷81＝0.5308642，则用十分制表示的八十一分历月策为η＝29.5308642，将之代入式①，就能很方便地施行于《太初历》的算历了。 6、张汝舟氏将古四分历月策用年减940分之3分的办法，加以改造而名之为“经朔”，使之与天象一致。这是他独树一帜的好办法。而如果采用η＝ 29.530589，将之代入式①，也就可以进行其精度为实测朔望月长度的，称之为经朔的朔望月交朔日时计算了。
十二、严格按回归年之长算气候 古四分历取岁长365.25天，经匀分为冬至、大寒、雨水、春分、谷雨、小满、夏至、大暑、处暑、秋分、霜降、小雪等含12个中气对应的所在月份。比如冬至所在的月份，就称之为十一月，大寒所在月称之为十二月，雨水必在春节所在的正月，等，一一类推。因为古四分历约定一岁长时间的中气距离是匀分的，故每一中气气距，或则约定为一个中气月的长度令为 ξ＝ 365 .25÷12 ＝ 30. 14 天。其中小数是采用32为分母，或称之为32进位制表示的。 现设Q 0为某一历算起点的中气日时数（以下简称中气数），而设QY 为距起历点任一Y中气月数所求月份的中气数，仿式①方式可以建立通式： Q Y ＝ Q 0 ＋ 30.14Y …………………② 正文表四《历术甲子篇》甲子蔀历数表中，“历元”Q0＝1.00， 己查得其第三年夏历“六月朔已卯16.429月小；大暑廿九日44.18。”试以计算法核之。因为该月距现在称之为原点的积中气月数Y ＝ 31 (中气月)，代入式②，可得： Q 31 ＝ 1.00. ＋ 30.14×31＝1.00＋930.00＋13.18.＝944.18≡ 44.18。 得证。 1、上列算式中，用了整数与小数分别计算的“定义算式”，兹列范式如次：30.14×31＝30×31＋0.14×31 ＝ 930.00＋0.434≡ 30 +13.18＝43.18 。上面的运算，是将60循环制与32进位制并在一起计算的特殊计算方法 ! 2、用上面同样的方法，可以将《历术甲子篇》76年的任一年任一月份的中气数用式 ②统一表达出来。也就是说，用一个算式，将其76年间912个中气月的中气数全部概括无余。作为例子，如表四最后一年历数为16.093；而其冬至数由《历术甲子篇》最后一段“大余33，小余24”，知为33. 24。实则是中气积月第900中气月节令交冬至的日时。现将Y＝ 900代入式②，可得： Y 900＝1.000 ＋ 30.14×900＝1.000＋27000.12600≡1.000 +0.000 + 393. 24＝394.24 ≡ 33.24 。得证 。 3、既取“气策”为30.14天，在此气策实用期限内，式②通用。比如，我们认定西元前427年十一月的Ｒ0 ＝ 46.000，因蔀首朔气同日同时冬至日时亦这Q0＝46.00，且作为算历的坐标原点 。它的实施期的最后一个月为西元前104年首月(岁前十一月) 相距中气月数为 ＝ 912×4 ＋ 228 ＝ 第3876中气月，使用系数ξ＝30.14，将之代入式②中，得 ： Y3876＝46.00＋ 30.14×3876＝46.00＋116280.54264≡46.00 +0.00 + 1695.24＝1741.24 ≡ 1.24 。得西元前105年十一月初一日甲子酉时冬至，与历纪合，得证。 4、若将古四分历，亦即是《历术甲子篇》中气策30.14，改换为十进制表述为ξ＝ 30.4375代入式②，可以更方便进行计算。所得结果，其小数为十分制日分时间，可以很方便地转换为32分制、现代时分秒制，或其它任一日分制来表述。而得数的整数，则就是从原点到所求中气的相距天数或“积日”，且也能很方便地用对模60等余(Y·MOD60)的方法求得其记日干支。 5、实测一回归年长为365.2422天，除以12，得平均一中气月的时间长度为30.43685天。用ξ＝ 30.43685，代入式②，就可以进行其精度为实测平均中气气距的交节日时计算了。
三、以闰月使阴阳合历中华历法是一种阴阳合历。也就是说，中华历法向来注重太阳与月亮(太阴)在天相变化反映于历法上的和谐与统一。阴历与阳历和谐的办法就是古人说的“以闰月定四时成岁”。前此关于先秦古代历法的研讨中，虽然对由《历术甲子篇》所说的“闰归于终”，和对刘歆所阐述的“穷则变，闰尽则闰”的历法思想作了很多探讨，然桎棝于总结归纳古法，一直没有放下用手工操作进行“推步”的模式。下面试探索用一个算式将上述的式①和式②有机地联系起来。 前己述，古四分历一“中气月”平均中气的长度为ξ ＝ 30 .4375天，而一个朔望月的标准长度 η ＝ 29 . 530851 天，由冬至为 0 算起的朔望用序为X，中气月序为 Y ，而由Δ ＝ 1开始的闰轮序数为 Δ ，则闰月所在朔望月序的位置为X＝Y＋Δ。现在立満足某一朔望月没有“中气”作为“闰月”的条件： 条件【1】：闰月朔日必须位于对应中气的日期的后。 由式②闰月前中气的“中气数”：Q Y ＝ Q 0 ＋ξY ； 由式①闰月朔日的“历数”为RX ＝Ｒ0 ＋ η ( Ｙ＋Δ ) 因两式的起点归一，可令Q 0＝Ｒ0 ，由条件【1】，可立 ： 【η（Ｙ＋Δ）】＞【 ξＹ】 ……… ③ 式中方括号表示，只 取 乘 积 的 整数部份。 条件【2】：闰月后一中气必须在闰月的晦日日期之外。由条件【2】同样可立： 【ξ（Y＋1）】＞【η（Y＋1＋Δ）】 …… ④ 式③、④是满足闰月不在中气历点上的充份和必要条件。其具体位置可由下面的经验算式 Y = 32.4Δ所得数的前后两整数试探确定之。以下将古四分历甲子蔀的28个闰月位置列表计算如下：
二十八闰月中气历算表式
第一篇·第一章
闰轮序 01 02 03 04 05 06 07 2积气月 031 064 097 130 162 194 227 3首气数 0043.5625 1948.0000 2952 .4375 3956.8750 4930.8750 5904. 8750 6909.3125 4气干支 丁未 壬辰 丙子 庚申 甲戌 戊子 癸酉 5中气名 大暑 谷雨 大寒 霜降 夏至 雨水 小雪 6积朔月 32 66 100 134 167 200 234 7闰朔数 0944.9872 1949.0362 2953.0851 3957.1340 4931 5621 5906.1702 6910.2191 8朔干支 戊申 癸巳 丁丑 辛酉 乙亥 庚寅 甲戌 9闰月名 六 三 十二 九 五 一 十 ⒑尾气数 0974.0000 1978.4375 2982.8750 3987.3125 4961.3125 5935.3125 6939.7500 ⒒气干支 丁丑 壬戌 丙午 辛卯 乙巳 己未 癸卯 ⒓中气名 处暑 小满 雨水 小雪 大暑 春分 冬至 ⒔下月朔 0974.5180 1978. 5670 2982.6159 3986.6649 4961.1830 5935.7011 6939.7500 ⒕朔干支 戊寅 壬戌 丙午 庚寅 乙巳 己未 癸卯
第一篇·第二章
闰轮序 08 09 10 11 12 13 14 2积气月 260 292 324 357 390 422 454 3首气数 7913.7500 8887.7500 9861.7500 10866.188 11870.625 12844.625 13818.625 4气干支 丁巳 辛未 乙酉 庚午 甲寅 戊辰 壬午 5中气名 处暑 谷雨 冬至 秋分 夏至 雨水 霜降 6积朔月 268 301 334 368 402 435 468 7闰朔数 7914.2681 8888.7862 8963.3042 10867.353 11871.402 12845.920 13820.438 8朔干支 戊午 壬申 丁亥 辛未 乙卯 己巳 甲申 9闰月名 七 三 十一 八 五 一 九 ⒑尾气数 7944.1875 8918.1875 9892.1875 10896.625 11901.063 12875.063 13849.063 ⒒气干支 戊子 壬寅 丙辰 庚子 乙酉 己亥 癸丑 ⒓中气名 秋分 小满 大寒 霜降 大暑 春分 小雪 ⒔下月朔 7943.7989 8918.3710 98928351 10896.892 11900.933 12875.451 13849.969 ⒕朔干支 丁亥 壬寅 丙辰 庚子 甲申 己亥 癸丑
第一篇·第三章
闰轮序 15 16 17 18 19 20 21 2积气月 488 521 553 585 618 651 683 3首气数 14853.500 15857.938 16831 938 17805.938 18810.375 19814.813 20788.813 4气干支 丁酉 辛巳 乙未 己酉 甲午 戊寅 壬辰 5中气名 处暑 小满 大寒 秋分 夏至 春分 小雪 6积朔月 503 537 570 603 637 671 704 7闰朔数 14854.018 15858.067 16832.585 17807.103 18871.152 19815.201 20789.719 8朔干支 戊戌 壬午 丙申 辛亥 乙未 己卯 癸巳 9闰月名 七 四 十二 八 五 二 十 ⒑尾气数 14883.938 15888.375 16862.375 17836.375 18840.813 19844.250 20819.250 ⒒气干支 丁卯 壬子 丙寅 庚辰 甲子 戊申 癸亥 ⒓中气名 秋分 夏至 雨水 霜降 大暑 谷雨 冬至 ⒔下月朔 14883.549 15887.598 16862.116 17836.612 18840.683 19844.732 20819.250 ⒕朔干支 丁卯 辛亥 丙寅 庚辰 甲子 戊申 癸亥 第一篇 · 第 四章
1、闰轮序 22 23 24 25 26 27 28 2积气月 715 748 781 813 845 878 911 3首气数 21762.813 22767250 23771.688 24745.688 25719.688 26724.125 27728.563 4气干支 丙午 辛卯 乙亥 己丑 癸卯 戊子 壬申 5中气名 大暑 谷雨 大 寒 秋分 小满 雨水 小雪 6积朔月 737 771 805 838 871 905 939 7闰朔数 21764.237 22768.286 23772.335 24746.853 25721.371 26725.420 27729.469 8朔干支 戊申 壬辰 丙子 庚寅 乙巳 己丑 癸酉 9闰月名 六 三 十二 八 四 一 十 ⒑尾气数 21793.250 22797.688 23802.125 24776.125 25750.125 26754.563 27759.000 ⒒气干支 丁丑 辛酉 丙午 庚申 甲戌 戊午 癸卯 ⒓中气名 处暑 小满 雨水 霜降 夏至 春分 冬至 ⒔下月朔 21793.768 22797.817 23801.866 24776.384 25750.902 26754.951 27759.000 ⒕朔干支 丁丑 辛酉 乙巳 庚申 甲戌 戊午 癸卯
2、积气月：从冬至为0原点算起的中气秩序，或称积中气月数。 3、首气数：闰前中气积日和交气时间；本表数字均用十进制，为表项2与古四分历平均中气距30.4375的乘积。其中整数为从0原点算起的积日天数。其数的小数部份，为十进位表未的交气时间。其数乘以32，就是古四分历计节气的“小余”数了；比如0.5625×32＝10（日分），等。 4、气干支：历数的整数部份除以60的余数加1，即为对应的日干支序数；比如0943≡43, 43＋1＝44＝丁未，等。 5、中气名：项2除以12的余数所对应的中气名称。得数与十二中气名称的对应关系：0（1 2）冬至 ，1 大寒 ，2 雨水 ，3春分 ，4 谷雨 ，5 小满 ，6夏至 ，7 大暑 ，8 处暑 ，9 秋分，10 霜降 ，11 小雪 。 6、积朔月：项1加项2，为从0原点算起的朔望月序，亦称之为朔望积月。 7、闰朔数：闰月朔日的历数，得至古四分历月策长29.530851乘以项6的积朔月数。得数的整数为从0原点算起的积日。小数取十进位。其数乘以940，即得古四分历交朔时间的“小余”，乘以81，即得《太初历》历数的“小余”等。例如0.9872×940＝928（日分），0.9872×81＝80（日分），与《殷历》西元前425年闰六月，或与《太初历》西元前102年闰六月朔的日分均相恰合。 8、朔干支：闰月朔日干支。历数的整数部份除以60的余数加1，即为对应的日干支序数；如0944MOD60＋1＝ 45 ＝ 戊申，等是。 9、闰月名：闰月的夏历月份。项2所载“积气月”数除以12的余数减1即是。如 162MOD12 – 1 ＝ 5 ＝ 闰五月，等。 10、尾气数：闰月的下一个节气历数。由项3所载“首气数”加30.4375的得数。加法用十进位法。 13、下月朔：所闰月份次一个月的交朔日时。由项7“闰朔数”加一个“月策”29.530851天的得数。加法用十进位法。 说 明： 由以上计算所得四章28闰轮轮历数，可总结之于下： 1)、上法算出的甲子蔀岁76年间28次闰月安排，归纳这如表附下。其闰月月名按夏历。由得数知，与用“推步”方法得出的闰用月月份，比如由张汝舟在《二毋室古代历法研究》交侍的闰月月份是完全一致的。 章 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ 01 六 三 十二 九 五 一 十 02 七 三 十一 八 五 一 九 03 七 四 十二 八 五 二 十 04 六 三 十二 八 四 一 十 2)、上表所采用历算参数咸同于古四分历，其算术方法也不脱离“古法”，“古制”，所得结果也完全符合名义上闰月不含“中气”的要求。其朔闰关系，于每章岁之后随机抽出两闰轮数据，附出制图一帧，以直观其相互契合的程度。 3）、历人的所谓历法“推步”，顾名思义，要旨是因为历法参数间的关系微妙，无法统算，必须推一步行一步，摸着了石头再挪步的意思。而窃以为，只要是抓住了中华古历的龙脉，跳出了繁琐仪节的桎棝，订出既科学又简洁的条例，才既可以真正认识中华古历的精义，而又为古法今用进行有效的开拓。上面关于闰月安排的历算，就是想跳出“推步”的嚐试。运用之妙，存乎一心；有“庖师解牛，不识全牛”之功用。 4)、从表、图和计算数据可知，以上关于闰月安排，也是以76年为周期而循环复始的 。但需注意：本法所采取的中气，和交朔日期，都是“名义”历数，与“定朔” 和“定气”，有少许的区别。只说是“少许”，可从太初改历以来，止于2100年闰月安排统计的实际说明之：从西元前104年到西元2100年相距为2204年，刚好是29个76年。西元前的104年闰38次，闰月的安排都是与古四分历恰合的。西元后2100年闰月为774次。除因为历法精度提高，打破了76年为周期节奏，导致闰月差动后移外，其余于古法并无大的变故。关于这2100年间744次具体闰月年份和月份的历纪统计，请参见拙著《中华历纪中的闰月》一文，己上网可查。如此一说，好像作者有执古的味道。故以上见解，，也还是只是作心得一见。但窃以为，中华古历要为中华文明的复兴再立新功，由繁入简，与时俱进，是改革的必经之路!
附件
《殷历》第十六至第二十蔀第一章历数表
表1 第十六蔀 (己酉蔀，西元前4 2 7年—西元前3 5 2年）
【前427年岁前冬至：4 8 . 0 3 2】
年号 - 1章岁； 年号-2章岁； 年号 -3章岁； 年号 -4章岁 427— 46.000； 408—25.705； 389—05.470； 370—45.235； 426— 40.348； 407—20.113； 388—59.818； 369—39.583；闰Ⅰ— 34.696； 406—14.461； 387—54.226； 368—33.931； 424— 58.603； 405—38.368； 386—18.133； 367—57.838； 423— 53.011； 404—32.716； 385—12.481； 366—52.246；闰Ⅱ— 47.359； 403—27.124； 384—06.829； 365—46.594； 421— 11.266； 402—51.031； 383—30.736； 364—10.501； 420— 05.614； 401—45.379； 382—25.144； 363—04.849；闰Ⅲ— 60.022； 400—39.727； 381—19.492； 362—59.257； 418— 23.869； 399—03.634； 380—43.399； 361—23.164；闰Ⅳ— 18.277； 398—58.042； 379—37.747； 360—17.512； 416— 42.184； 397—21.889； 378—01.654； 359—41.419； 415— 36.532； 396—16.297； 377—56.062； 358—35.767；闰Ⅴ— 30.880； 395—10.645； 376—50.410； 357—30.175； 413— 54.787； 394—34.552； 375—14.317； 356—54.082； 412— 49.195； 393—28.900； 374—08.665； 355—48.430；闰Ⅵ— 43.543； 392—23.308； 373—03.073； 354—42.778； 410— 07.450； 391—47.215； 372—26.920； 353—06.685；闰Ⅶ— 01.798； 390—41.563； 371—21.328； 352—01.093。
表2 第十七蔀 (戊子蔀 ，西元前351年—西元前276年) 【 西元前351年岁前冬至：26.415 】年号 - 1章岁； 年号-2章岁； 年号 -3章岁； 年号 -4章岁 351— 25.000； 332—04.705； 313—44.470； 294—24.235； 350— 19.348； 331—59.113； 312—38.818； 293—18.583；闰Ⅰ— 13.696； 330—53.461； 311—33.226； 292—12.931； 348— 37.603； 329—17.368； 310—57.133； 291—36.838； 347— 32.011； 328—11.716； 309—51.481； 290—31.246；闰Ⅱ— 26.359； 327—06.124； 308—45.829； 289—25.594； 345— 50.266； 326—30.031； 307—09.736； 288—49.501； 344— 44.614； 325—24.379； 306—04.144； 287—43.849；闰Ⅲ— 39.022； 324—18.727； 305—58.492； 286—38.257； 342— 02.869； 323—42.634； 304—22.399； 285—02.164；闰Ⅳ— 57.277； 322—37.042； 303—16.747； 284—56.512； 340— 21.184； 321—60.889； 302—40.654； 283—20.419； 339— 15.532； 320—55.297； 301—35.062； 282—14.767；闰Ⅴ— 09.880； 319—49.645； 300—29.410； 281—09.175； 337— 33.787； 318—13.552； 299—53.317； 280—33.082； 336— 28.195； 317—07.900； 298—47.665； 279—27.430；闰Ⅵ— 22.543； 316—02.308； 297—42.073； 278—21.778； 334— 46.450； 315—26.215； 296—05.920； 277—45.685；闰Ⅶ— 40.798； 314—20.563； 295—60.328； 276—40.093。
表3 第十八蔀 (丁卯蔀，西元前275年---西元前200年) 【 西元前275年岁前冬至：04.798 】年号- 1章岁； 年号-2章岁； 年号-3章岁； 年号-4章岁 275— 04.000； 256—43.705； 237—23.470； 218—03.235； 274— 58.348； 255—38.113； 236—17.818； 217—57.583；闰Ⅰ—52.696； 254—32.461； 235—12.226； 216—51.931； 272— 16.603； 253—56.368； 234—36.133； 215—15.838； 271— 11.011； 252—50.716； 233—30.481； 214—10.246 闰Ⅱ—05.359； 251—45.124； 232—24.829； 213—04.594； 269— 29.266； 250—09.031； 231—48.736； 212—28.501； 268— 23.614； 249—03.379； 230—43.144； 211—22.849；闰Ⅲ—18.022； 248—57.727； 229—37.492； 210—17.257； 266— 41.869； 247—21.634； 228—01.399； 209—41.164；闰Ⅳ—36.277； 246—16.042； 227—55.747； 208—35.512； 264— 60.184； 245—39.889； 226—19.654； 207—59.419； 263— 54.532； 244—34.297； 225—14.062； 206—53.767；闰Ⅴ—48.880； 243—28.645； 224—08.410； 205—48.175； 261— 12.787； 242—52.552； 223—32.317； 204—12.082； 260— 07.195； 241—46.900； 222—26.665； 203—06.430；闰Ⅵ—01.543； 240—41.308； 221—21.073； 202—60.778； 258— 25.450； 239—05.215； 220—44.920； 201—24.685；闰Ⅶ—19.798； 238—59.563； 219—39.328； 200—19.093。
表4 第十九蔀 (丙午蔀，西元前199年---西元前124年) 【西元前199年岁前冬至：43.241】年号 - 1章岁； 年号-2章岁； 年号 -3章岁； 年号 -4章岁 199— 43.000； 180—22.705； 161—02.470； 142—42.235； 198— 37.348； 179—17.113； 160—56.818； 141—36.583；闰Ⅰ— 31.696； 178—11.461； 159—51.226； 140—30.931； 196— 55.603； 177—35.368； 158—15.133； 139—54.838； 195— 50.011； 176—29.716； 157—09.481； 138—49.246 闰Ⅱ— 44.359； 175—24.124； 156—03.829； 137—43.594； 193— 08.266； 174—48.031； 155—27.736； 136—07.501； 192— 02.614； 173—42.379； 154—22.144； 135—01.849；闰Ⅲ— 57.022； 172—36.727； 153—16.492； 134—56.257； 190— 20.869； 171—60.634； 152—40.399； 133—20.164；闰Ⅳ— 15.277； 170—55.042； 151—34.747； 132—14.512； 188— 39.184； 169—18.889； 150—58.654； 131—38.419； 187— 33.532； 168—13.297； 149—53.062； 130—32.767；闰Ⅴ— 27.880； 167—07.645； 148—47.410； 129—27.175； 185— 51.787； 166—31.552； 147—11.317； 128—51.082； 184— 46.195； 165—25.900； 146—05.665； 127—45.430；闰Ⅵ— 40.543； 164—20.308； 145—60.073； 126—39.778； 182— 04.450； 163—44.215； 144—23.920； 125—03.685；闰Ⅶ— 58.798； 162—38.563； 143—18.328； 124—58.093。
表5 第二十蔀 (乙酉蔀，西元前123 年---西元前 48 年) 【西元前123年岁冬至：21.624]】年号 - 1章岁； 年号- 2章岁； 年号-3章岁； 年号-4章岁 123— 22.000； (104—01.705。 转《太初历》：01.000。） 122— 16.348；闰Ⅰ— 10.696； 120— 34.603； 119— 29.011；闰Ⅱ— 23.359； 117— 47.266； 116— 41.614；闰Ⅲ— 36.022； 114— 59.869；闰Ⅳ— 54.277； 112— 18.184； 111— 12.532；闰Ⅴ— 06.880； 109— 30.787； 108— 25.195；闰Ⅵ— 19.543； 106— 43.450；闰Ⅶ— 37.798。
下附六十甲子顺充表供参考： 六十甲子顺序表
01甲子02乙丑03丙寅04丁卯05戊辰 06己巳07庚午08辛未09壬申10癸酉
11甲戌12乙亥13丙子14丁丑15戊寅 16己卯17庚辰18辛巳19壬午20癸未 21甲申22乙酉23 丙戌24丁亥25戊子 26己丑27庚寅28辛卯29壬辰30癸己 31甲午32乙未3 3丙申34丁酉35戊戌 36己亥37庚子38辛丑39壬寅40癸卯 41甲辰42乙巳43丙午44丁未45戊申 46己酉47庚戌48辛亥49壬子50癸丑 51甲寅5 2乙卯53丙辰54丁巳55戊午 56己未57庚申58辛酉59壬戌60癸亥
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