《天文算法》之--行星位置

   计算方法:
  1982年,巴黎的P.Bretagnon发表了他的行星理论VSOP82。VSOP是"Variations Seculaires des Orbites Planetaires"的缩写。VSOP82由大星行(水星到海王星)的长长的周期项序列组成。给定一个行星及一个时间,对它的序列取和计算,即可获得下述的密切轨道参数。(注:密切轨道是行星的瞬时轨道,详见32章)
a = 轨道半长径
λ= 行星的平黄经
h = e*sin(π)
k = e*cos(π)
p = sin(i/2)*sin(Ω)
q = sin(i/2)*cos(Ω)
式中e是轨道的离心率,π是近日点黄经,i是倾角,Ω是升交点黄经
  当a、λ、e和π(由h和k得到),i及Ω已知,某一时刻行星的空间位置即可获得。
  VSOP82方法有个不便之处是,当不需要完全精度时,应在何处截断。幸运的是,1987年 Bretagnon 和 Francou 创建了VSOP87,它提供了直接计算行星日心坐标的周期序列项。也就是说直接算得:
  L, 日心黄经
  B, 日心黄纬
  R, 行星到太阳的距离
  要注意的是,L是行星的的真黄经,不是轨道经度。在第30章的图中,轨道经度(有时我译为黄经,但要注意,精确计算时这样番译显得不够准确)是γN + NX',这两段角度分别在两条不同的轨道上。通过行星的真位x'垂直画一条黄经线,在黄道上交于x",那么γx"就是黄经。
  虽然VSOP82及VSOP87方法已在天文文献上发表,但这些理论数据仅保存在磁盘上。经许可,我们在附录II中给出VSOP87理论的主要周期项。每个星体,其序列标号为L0,L1,L2…,B0,B1…,R0,R1…。
  序列L0,L1…计算黄经L;序B0,B1……计算黄纬;R0,R1…计算距离。
  每个水平线下的列表,表示一组周期项,包含四列数字:
  1)序号,这不是计算所必须的,仅是提供一个参考。
  2)三个数字,分别命名为A,B,C
  设JDE是标准的儒略日数,τ是千年数,则表达如下：τ= (JDE - 2451545.0) / 365250
  则每项(表中各行)的值计算公式是：A*cos(B+C*τ)
  如水星的L0表的第9行算式为：1803*cos(4.1033 + 5661.3320*τ)
  附表II中,B、C的单位是弧度。系数A的单位是10-8弧度(适用于黄经和黄纬),10-8天文单位(适用于距离)。当系数A的数字较小,B及C的小数位数也较少。这样可减少一些无用数字,并不影结果。
  对L0表各项取和计算得L0，对L1表各项取和计算得L1，其它表类推。按如下算式，可取得行星的Date黄道坐标的黄经(单位是弧度)：
  L = (L0 + L1τ + L2τ2 + L3τ3 + L4τ4 +L5τ5)/108 ……31.2式
  用同样的方法继计算B和R。
  到此为止,我们得到行星在动力学Date平黄道坐标(Bretagnon的VSOP定义的)中的日心黄经L、黄纬B。这个坐标系与标准的FK5坐标系还有细微差别,详见第20章。按如下方法可将L和B转到FK5坐标系中,其中T是世纪数,T=10τ。
  先计算：L' = L - 1°.397*T - 0.00031*T^2
  然后计算L和B的修正值：
    ΔL = -0".09033 + 0".03916*( cos(L') + sin(L') )*tan(B) ……31.3式
    ΔB = +0".03916*( cos(L') - sin(L') ) ……31.3式
  仅在十分精确计算时才需进行修正,如果按附表II提供的序列进行计算,则无需修正。
  如何得到行星的地心坐标,将在第32章中叙述。
例31.a ——计算金星的日心坐标, 时间1992年12月20日0时(力学时)
  该日期转为儒略日数是:JDE 2448976.5
  这样可得: τ = -0.007032169747
  对于金星,附表II中,其序列L0有24项(在原VSOP87理论中有很多很多项),L1有12项,L2有8项,L3及L4各有3项,L5有1项。这些序列取和计算后得到:
    L0 = +316 402 122 L3 = -56
    L1 = +1021 353 038 718 L4 = -109
    L2 = +50055 L5 = -1
  因此,由31.2式即可得到金星的日心黄经
    L = -68.6592582弧度 = -3933°.88572 = +26°.11428
  用同样的方法计算日心黄纬B及距离。这时金星没有B5及R5表项。计算结果是:
    B = -0.0457399(弧度) = -2°.62070, R = 0.724603 (AU)
结果的精度
  当我们要取得更高精度时,VSOP87方法收敛得很慢。当我们截取部分序列进行计算时,那么产生的误差的数量级是多少呢?
  以下经验已经由Bretagnon和Francou结出：
  如果n是保留项数,A是保留项中最小的值,那么当前截断的序列的误差为:
    η*sqrt(n)*A, 式中η小于2,sqrt()是开方函数
  举例来说,让我们来考虑一下水星的日心黄经。在附表II中,其L0包含38项,最小系数是100*10^-8弧度。因此,我们可以估计其最大可能误差约为：
    2*sqrt(38)*100*10^-8弧度 = 2".54
  当然序列L1,L2等也有截断误差,分别为0".41*τ,0".08*τ^2等。

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